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Of course, there are more than one way of saying it, depending on context.
If you were using a computer application which prompted you to save a date within a calendar, you might be able to say "réserver la date".
But if you were invited to a wedding, for instance, you'd need to write down the date in a calendar.
So it's a matter of context. Are there other possibilities?

Dans le contexte informatique

suggestion, but as Françoise says, depends on context...

Grand Robert & Collins 2012 en ligne:

Il s'agit du sens suivant de "save" ici :

c) also save up

[+ money] ▶ mettre de côté
[+ food] ▶ mettre de côté, ▶ garder

■ he has money saved : il a de l'argent de côté
■ I've saved you a piece of cake : je t'ai gardé un morceau de gâteau
■ to save [oneself] (up) for [something] : se réserver pour [quelque chose]
■ he saved the last sweet for himself : il s'est gardé le dernier bonbon
■ I was saving the wine for later : je gardais le vin pour plus tard
■ to save [something] till (the) last : garder [quelque chose] pour la bonne bouche
■ to save the best for last : garder le meilleur pour la fin
■ to save (up) old newspapers for charity : garder les vieux journaux pour les bonnes œuvres
■ to save stamps/matchboxes etc (“collect”) : collectionner les timbres/les boîtes d'allumettes etc
■ will you save me a place at your table? : me garderez-vous une place à votre table ?

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bloquer:

i) ✰ « réserver » : [+ jour] ▶ to reserve, ▶ to put aside

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A noter que Le Grand Robert & Collins ajoute une étoile (✰), signifiant par là qu'il s'agit d'un langage familier (informal language).

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Ceci dit, en tant que francophone de naissance, j'ai déjà entendu cette expression maintes fois, par exemple dans des réunions d'affaires, dans le contexte des affaires.

"Réservez cette date" n'est pas utilisé, du moins en Belgique et dans les sociétés internationales.

Cà dépend du contexte. Expression très en vogue que beaucoup utilisent telle quelle. Je l'ai repérée ce matin à la vitrine d'une grande marque.